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Demonstração da derivada da soma ou subtração

Demonstração da derivada da soma ou subtração

 

Neste post apresenta-se a Demonstração da derivada da soma ou subtração de duas funções, ou seja, vamos mostrar que a derivada da soma é igual a soma das derivadas e que a derivada da diferença é igual a diferença das derivadas.

Se as funções f(x) e g(x) possuem derivadas no intervalo aberto (a,b) então a função f(x)\pm g(x) possui derivada em (a,b) e que 

\displaystyle \frac{d}{dx}\big[f(x)\pm g(x)\big]=\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]\pm\frac{d}{dx}\big[g(x)\big] .

Novamente vamos utilizar a definição formal de derivadas para demostrar esta propriedade:

{f}'(x)=\displaystyle\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} .

Para a propriedade da soma tem-se:

\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)+ g(x)\big]=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-\big(f(x)+g(x)\big)}{h}=

\displaystyle=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}  .

Pelas propriedades dos limites tem-se:

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)+g(x+h)-f(x)-g(x)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+

\displaystyle +\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h} .

Logo, 

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}+\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{g(x+h)-g(x)}{h}=

\displaystyle =\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]+\frac{d}{dx}\big[g(x)\big] .

De modo análogo é feito a demonstração para a subtração. 

Publicado em 28/10/2016, em Derivadas.