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Demonstração da derivada da função exponencial

Demonstração da derivada da função exponencial

Neste post apresenta-se a Demonstração da derivada da função exponencial, que é dada por:

f(x)=b^{x}

na qual b>0  e  b\neq 1 .

Para a demostração utiliza-se a definição formal de derivada 

\displaystyle\frac{d}{dx}\big[f(x)\big]= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h} .

Assim, aplicando na função exponencial tem-se:

\displaystyle\frac{d}{dx}\big[\; b^{x}\; \big]= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{b^{x+h}-b^{x}}{h} .

Manipulando este limite utilizando as propriedades das exponenciais obtém-se: 

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{b^{x+h}-b^{x}}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{b^{x}\cdot b^{h}-b^{x}}{h}= \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{b^{x}(b^{h}-1)}{h} .

Em seguida deve-se utilizar a propriedade do produto dos limites

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{b^{x}(b^{h}-1)}{h}=\lim\limits_{h\rightarrow 0}b^{x}\cdot \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{b^{h}-1}{h} .

Aplicando o limite e percebendo que o segundo limite é um dos limites fundamentais, fica-se com: 

\displaystyle \lim\limits_{h\rightarrow 0}b^{x}\cdot \lim\limits_{h\rightarrow 0}\frac{b^{h}-1}{h}=b^{x}\cdot ln\; b .

Logo, tem-se que:

\displaystyle\frac{d}{dx}\big[\; b^{x}\; \big]=b^{x}\cdot ln\; b .

Como caso particular das funções exponenciais temos a função

f(x)=e^{x} ,

em que sua derivada é a própria função 

\displaystyle\frac{d}{dx}\big[\; e^{x}\; \big]=e^{x} .

Acompanhe a resolução de alguns exemplos utilizando a derivada da função exponencial clicando aqui. 

Publicado em 01/12/2016, em Derivadas.